Родился в 1980 году в городе Ош (Киргизия). В 2005 году окончил Московскую консерваторию по классу композиции профессора, народного артиста РФ Александра Чайковского. В настоящее время ведёт класс композиции в консерватории. С сентября 2021 года возглавил Кафедру композиции Российской академии музыки им. Гнесиных. Член Совета Союза композиторов России.
Музыка Кузьмы Бодрова звучит в России, Европе, Америке, Австралии и Новой Зеландии. Её исполняют Госоркестр России им. Е.Ф. Светланова, Академический симфонический оркестр Московской филармонии, Большой симфонический оркестр им. П.И. Чайковского, Национальный филармонический оркестр России, оркестр «Новая Россия», Камерный оркестр «Солисты Москвы», Камерный хор Московской консерватории, Ансамбль хоровой музыки «Altro coro», Хор Академии хорового искусства им. В.С. Попова, Капелла им. А.А. Юрлова, Хор им. А.В. Свешникова и другие известные коллективы. Кузьма Бодров сотрудничал с известными музыкантами, среди которых Юрий Башмет, Юрий Симонов, Александр Сладковский, Борис Тевлин, Владимир Зива, Никита Борисоглебский, Екатерина Мечетина, Александр Соловьёв, Борха Кинтас, Сергей Стадлер, Борис Березовский, Вадим Репин, Мария Байо, Сергей Антонов, Александр Тростянский, Елена Ревич и Вадим Холоденко.
Участник Лаборатории режиссёра и художника Дмитрия Крымова, создал музыку к спектаклям «Х.М. Смешанная техника», «Горки-10», «Как вам это понравится», «Оноре де Бальзак. Заметки о Бердичеве», «О-й. Поздняя любовь» и другим постановкам. В кинематографе сотрудничал с такими режиссёрами, как Павел Лунгин («Братство», «Дама пик»), Андрей Кравчук («Однажды в пустыне») и Константин Хабенский («Собибор», за саундтрек к фильму удостоен премии Министерства обороны РФ). Музыкальный руководитель проекта образовательных анимационных фильмов «Сказки старого пианино», получившего премию Правительства РФ за 2013 год.
С 2011 года является композитором-резидентом Оркестра JMJ в Мадриде. Автор нескольких произведений, написанных для мессы Его Святейшества Папы Римского Бенедикта XVI (2011). С 2012 года — приглашённый профессор Высшей школы музыки Катарины Гурски в Мадриде. Преподаёт на Высших курсах режиссёров и сценаристов в Москве.
За свои произведения Кузьма Бодров удостоен премий многих всероссийских и международных конкурсов, в том числе имени Д. Шостаковича (I премия за Концерт для скрипки с оркестром, 2006), имени С. Прокофьева (I премия за Концерт-сонату для скрипки с оркестром, 2012) и имени Н. Мясковского (I премия за струнный квартет, 2012). Обладатель премии Д.Д. Шостаковича от Московской консерватории. В 2011 году был назван «Персоной года» газетой «Музыкальное обозрение» (номинация «Новое поколение — музыкант года»).
Принимал участие в фестивалях: «Молодёжные академии России», «Opus первый», Бетховенский фестиваль в Бонне (специальный заказ «Deutsche Welle» на «Каприс» для скрипки с оркестром), «Musik an der ETH» (Швейцария), «Aspekte Salzburg 2010» (по приглашению С. Губайдулиной) и многих других.
Является членом Общественного совета при Министерстве культуры РФ.
