Музыкант, искусно владеющий фортепиано и различными историческими клавишными инструментами. Лауреат международных конкурсов им. Марии Канальс в Барселоне, им. Эннио Поррино в Кальяри, им. В.А. Моцарта в Зальцбурге и других. Профессор Московской консерватории.
Владеет обширным репертуаром, включающим в себя музыку XVI–XX веков. Является первым и единственным исполнителем, записавшим все симфонии Бетховена в транскрипции Листа для фортепиано соло на инструментах XIX века. Осуществил российскую премьеру всего «Хорошо темперированного клавира» Баха на клавикорде и впервые в России исполнил ряд сочинений эпохи ренессанса, барокко и раннего классицизма.
Окончил Центральную музыкальную школу (класс фортепиано Сергея Дижура), Московскую консерваторию (класс фортепиано Михаила Воскресенского, класс органа Алексея Паршина) и ассистентуру-стажировку под руководством М. Воскресенского. Стажировался во Франции у Ильтона Вьюниски по специальностям «клавесин» и «basso continuo».
Активно концертирует по всему миру. Принимал участие во многих международных фестивалях, таких как «Декабрьские вечера Святослава Рихтера», «Московская осень», EarlyMusic, Метнер-фестиваль (Россия), Моцартовский фестиваль в Вюрцбурге, «Раритеты фортепианной музыки» в Хузуме, «Кёльнские дни старинной музыки», фестивали в Потсдаме и Рейнгау (Германия), Autour de piano-fortе, Ла-Рок-д’Антерон (Франция), Барочный фестиваль в Вантаа (Финляндия), Рождественский фестиваль в Йорке (Великобритания), Musica Antiqua в Брюгге (Бельгия), фестиваль камерной музыки в Капошваре (Венгрия) и многих других.
В числе его партнёров по сцене — Алексей Любимов, Александр Рудин, Марио Брунелло, Наталия Гутман, Петер Шрайер, Сигизмунд Кёйкен, Александр Сладковский, Дмитрий Лисс, Хироко Иноуэ, Барнабаш Келемен, Сергей Фильченко, Владислав Песин и многие другие солисты и дирижёры.
В дискографии музыканта — более 20 альбомов, удостоенных самых престижных международных наград: BBC Monthly Choice, Choc de la Musique, 5 diapason и Diapason d’or, «5 звёзд» британской газеты The Guardian. По мнению критики, игру Юрия Мартынова отличают глубина художественного замысла, гибкое владение временем в музыке, редкое по красоте и разнообразию звучание. С 2011 года эксклюзивные права на выпуск его записей принадлежат бельгийской компании Outhere Music.
С 1994 года музыкант преподаёт в Московской консерватории. Проводит мастер-классы во многих городах России, в США и странах Европы. Регулярно принимает участие в программе «Музыкальное передвижничество» Российского фонда культуры.
