Родился в Ленинграде в 1972 году. В 1989 году экстерном окончил Хоровое училище им. М.И. Глинки при Ленинградской академической капелле, в 1994 году – Ленинградскую консерваторию по специальности «хоровое дирижирование» (класс профессора, народной артистки РФ Е.П. Кудрявцевой). За особые успехи в учёбе неоднократно получал именную стипендию Е.А. Мравинского. В эти годы (1992–1994) был хормейстером Хора любителей пения и руководил созданным им вокальным ансамблем «Venia».
С 1994 года стажировался в Женеве у известного мастера барочной музыки, профессора Мишеля Корбо, а впоследствии был его ассистентом в Вокальном ансамбле Лозанны. С 1995 года продолжил своё образование в Венской академии музыки и Женевской консерватории по специальности «симфоническое дирижирование» у профессора Манфреда Хонека, а также стажировался на фестивале в Байройте по приглашению Общества Рихарда Вагнера. В начале своей карьеры был ассистентом и работал с такими знаменитыми дирижёрами, как Дмитрий Китаенко, Эммануэль Кривин и Фабио Луизи.
В 1998–2008 годах был главным дирижёром и художественным руководителем хора и оркестра Женевского университета, а также возглавлял музыкальный департамент этого вуза. В 2008 году, при поддержке Департамента культуры Женевы, создал камерный оркестр «Camerata Venia», который ведёт активную концертную деятельность по сей день, с 2013 году продолжает проект «Хорошо темперированные сезоны», ставший одним из самых заметных явлений музыкальной жизни Женевы. В 2013 году Глеб Скворцов, победив в конкурсе дирижёров, стал художественным руководителем симфонического оркестра Женевы и возглавлял коллектив до 2017 года.
Сотрудничал с известными коллективами, среди которых Симфонический оркестр Государственной академической капеллы Санкт-Петербурга, Оркестр Романской Швейцарии, Национальный оркестр Лиона, Лозаннский камерный оркестр, а также с оперными театрами Женевы и Лозанны. Особого внимания прессы и публики заслужили осуществлённые под его руководством постановки оперетты «Москва, Черёмушки» (мировая премьера на французском языке) и «Сказки о попе и о работнике его Балде» Дмитрия Шостаковича, а также оперы «Соломенная шляпка» Нино Рота.
Многие из концертов Глеба Скворцова записаны Радио RTR (Швейцария), в том числе «История солдата» Игоря Стравинского к одноимённому музыкальному спектаклю в драматическом театре Женевы.