Народный артист России (2020)
Лауреат Национальной театральной премии «Золотая маска» (2012)
Родился в 1972 году в Иркутске. Окончил Московскую консерваторию по специальностям «виолончель» (класс профессора Марии Чайковской, 1996) и «оперно-симфоническое дирижирование» (класс профессора Василия Синайского, 2002), а также аспирантуру по специальности «струнный квартет» (1998).
Дирижёрскую карьеру начинал в Госоркестре России им. Е.Ф. Светланова (2000–2002). В дальнейшем в течение трёх сезонов совмещал должность главного дирижёра в двух московских театрах – Музыкальном театре им. К.С. Станиславского и Вл.И. Немировича-Данченко и театре «Новая опера» им. Е.В. Колобова.
С 2004 года – главный дирижёр Московского академического Музыкального театра им. К.С. Станиславского и Вл.И. Немировича-Данченко (МАМТ). В репертуаре дирижёра – свыше 30 оперных спектаклей.
Феликс Коробов ввёл в МАМТе практику симфонических концертов, представив вечера музыки Рахманинова, Равеля, Шостаковича, Бетховена и других композиторов. С оркестром театра выступали солисты Пауль Бадура-Шкода, Дмитрий Башкиров, Денис Мацуев, Саяка Сёдзи, Хибла Герзмава, Сергей Лейферкус, Владимир Галузин и другие. В 2008 году под управлением Феликса Коробова в Австрии был выпущен компакт-диск оркестра с произведениями Брамса (солист – Пауль Бадура-Шкода). Дирижёр сотрудничал с балетмейстерами Джоном Ноймайером, Олегом Виноградовым, Юрием Григоровичем. С Юрием Вамошем осуществил постановку балета «Спартак» Хачатуряна в Немецкой опере на Рейне (Дюссельдорф).
Успешно гастролирует как дирижёр и виолончелист. Выступал с симфоническими оркестрами России, Германии, Италии, Испании, Финляндии, Эстонии, Латвии, Грузии, Китая, США и других стран. Осуществил премьеры ряда произведений современных композиторов.
С 2007 года преподаёт в Московской консерватории на кафедре оперно-симфонического дирижирования, является художественным руководителем и главным дирижёром Камерного оркестра МГК.
С 2017 года регулярно сотрудничает с миланским театром «Ла Скала», где осуществил возобновления балетов Джона Кранко («Онегин»), Кеннета Макмиллана («Манон»), Рудольфа Нуреева («Спящая красавица»), спектакля «Баланчин/Килиан/Бежар».
С июня 2024 года – главный приглашённый дирижёр Большого симфонического оркестра им. П.И. Чайковского.
В театре К.С. Станиславского и Вл.И. Немировича-Данченко выступил музыкальным руководителем постановок опер «Травиата», «Сила судьбы», «Аида», «Макбет» и «Отелло» Верди, «Вертер» и «Манон» Массне, «Медея» Керубини, «Итальянка в Алжире» Россини, «Замок герцога Синяя Борода» Бартока, «Евгений Онегин» Чайковского, «Майская ночь» Римского-Корсакова, «Война и мир» Прокофьева, «Царь Эдип» Стравинского, балетов «Каменный цветок» и «Золушка» Прокофьева, «Манон» на музыку Массне, «Неаполь» на музыку Гаде, Хельстеда, Паулли, Лумбю. Осуществил мировые премьеры оперы «Гамлет (датский) (российская) комедия» Владимира Кобекина, оперного диптиха «Песни у колодца» Елены Лангер и «Слепые» Леры Ауэрбах, российские премьеры опер «Сократ» Сати и «Бедный матрос» Мийо, балетов «Русалочка» и «Татьяна» Леры Ауэрбах, «Маленькая смерть. Шесть танцев» на музыку Моцарта.