В 2012 году с отличием окончил Московское военно-музыкальное училище, в 2017 – институт военных дирижёров Военного университета Министерства обороны РФ.
Проходил службу военным дирижёром 45-й артиллерийской бригады (Тамбов), 27-й отдельной гвардейской мотострелковой бригады (Москва), 154-го отдельного комендантского Преображенского полка (Москва).
В настоящее время является художественным руководителем 25-го военного оркестра Центрального военного округа (объединённого стратегического командования ЦВО, Екатеринбург).
С августа 2024 года также возглавил Любительский духовой оркестр Свердловской филармонии.
Кроме того, Алексей Божедомов занимается педагогической деятельностью. С октября 2023 года — преподаватель Свердловского музыкального училища им. П.И. Чайковского по предметам: «Дирижирование», Инструментовка», «Чтение партитур», «Методика работы с духовым оркестром». В сентябре 2024 года одновременно стал руководителем духового оркестра музыкального училища.
Аспирант Тамбовского государственного музыкально-педагогического института им. С.В. Рахманинова по кафедре истории и теории музыки.
