Заниматься музыкой начал самостоятельно в 17 лет, под впечатлением от творчества таких музыкантов, как Дэвид Гилмор, Джо Пасс, Чарли Паркер. Следующим увлечением стала классическая гитара, а толчком для начала самостоятельного освоения техники фламенко – знакомство с творчеством испанского гитариста-виртуоза Пако де Лусии. Немного позднее ориентирами стали такие мастера, как Джон Маклафлин, Ральф Таунер, Майлз Дэвис, из мастеров фламенко – Висенте Амиго, Томатито, Маноло Санлукар.
Михаил Савичев обучался в Новосибирской консерватории по классу классической гитары. Одновременно с учёбой создал группу «Юг», играющую в стиле джаз-фьюжн, и экспериментировал, сочетая классику с джазом и акустическим фолком. В 2000 году встретился с приехавшей на гастроли в Сибирь цыганской фламенко-группой «Томаса де Мадрид», а затем уехал с ними на стажировку в Испанию. Изучал стиль фламенко у разных мастеров Севильи и Гранады, играл с лучшими цыганскими музыкантами Испании, сочетая в своей манере русскую и испанскую традиции.
Участник различных европейских фестивалей в Германии, Австрии, Швейцарии. С 2004 года – гитарист легендарного трио «Лойко» (вместе со скрипачами Сергеем Эрденко и Георгием Осмоловским), которое исполняет классические цыганские мелодии и напевы. В 2019 году принимал участие в записи российско-канадского проекта, который был номинирован на премию «Грэмми» в номинации «World Music».
Также Михаил Савичев проходил курс композиции при Санкт-Петербургской консерватории. В своих авторских композициях он мастерски переплетает несколько культур: музыку фламенко с русскими мелодиями и песнями, испанскую гитару с ирландскими нотками, этнику с джазом.
