Окончил Уральскую консерваторию (2002) и ассистентуру-стажировку (2004) по специальности «хоровое дирижирование» (класс профессора, заслуженного деятеля искусств РФ В.С. Давыдовой).
Начинал свой профессиональный путь в Екатеринбургском театре оперы и балета как артист хора и хормейстер, а также руководитель детского хора (1999–2008). С детским коллективом стал лауреатом нескольких международных фестивалей и конкурсов в России, Германии, Украине, золотым и серебряным призёром Всемирной хоровой Олимпиады в Граце (Австрия, 2008).
В 2008–2018 годах — хормейстер Симфонического хора Свердловской филармонии. Дирижировал коллективом во время гастрольных поездок в Ярославль, Омск, Санкт-Петербург, Нант. Руководил исполнением «Литургии» и «Трёх русских песен» С. Рахманинова, «Концерта для хора на стихи Нарекаци» А. Шнитке, Мессы соль мажор Ф. Шуберта, кантаты «Ночные облака» и цикла «Неизреченное чудо» Г. Свиридова, «Симфонии псалмов» И. Стравинского, «Свадебных песен» Ю. Буцко, концерта «Поэзы Игоря Северянина» Ю. Фалика, «Рождественских гимнов» Б. Бриттена и других произведений.
В 2018–2022 годах прошёл обучение в Нижегородской консерватории по специальности «оперно-симфоническое дирижирование» (класс профессора, народного артиста РФ Ю.М. Скульского). С этого момента начался оркестровый этап творческой деятельности Р.А. Аранбицкого. Как дирижёр симфонического оркестра он дебютировал в 2019 году в Нижнетагильской филармонии.
В 2019–2022 годах был художественным руководителем симфонического оркестра студентов Уральской консерватории, который под его управлением получил первые премии на международных конкурсах «Мир музыки» и «Симфония мира» (2021–2022). В 2019 году вместе с коллективом выступил на XII Фестивале музыки и искусств «Тремоло» (Тольятти) и принял участие в юбилейных концертах, посвящённых 85-летию консерватории, в Московском театре «Новая опера» и на сцене Свердловской филармонии. С 2021 года также возглавлял Камерный хор отделения музыкальной педагогики УГК, который под его руководством стал лауреатом международного и всероссийских конкурсов (Россия – Германия, Москва, Екатеринбург, 2022).
Дирижёр сотрудничал с Екатеринбургским камерным оркестром «B-A-C-H», оркестром русских народных инструментов Свердловской детской филармонии.
Является лауреатом премии Губернатора Свердловской области (2003).
С 2003 года преподаёт в Уральской консерватории (в настоящее время — доцент кафедр хорового и оркестрового дирижирования).
В сентябре 2022 года Роман Аранбицкий принял приглашение Нижнетагильской филармонии возглавить оркестр «Демидов-камерата», который постепенно трансформируется в полноценный симфонический коллектив.
