Джозеф Алесси был назначен первым тромбонистом Нью-Йоркского филармонического оркестра весной 1985 года. Он начал обучение музыке в родной Калифорнии со своим отцом Джозефом Алесси-старшим, будучи учеником средней школы города Сан-Рафаэль, Калифорния, и стал солистом Симфонического оркестра Сан-Франциско, прежде чем продолжить свое музыкальное образование в Кёртисовском институте музыки в Филадельфии. До прихода в Нью-Йоркский филармонический оркестр Алесси в течение четырех сезонов был вторым тромбонистом Филадельфийского оркестра и в течение одного сезона – первым тромбонистом Монреальского симфонического оркестра. Кроме того, он выступал в качестве приглашенного первого тромбониста с Лондонским симфоническим оркестром в Карнеги-Холле под руководством Пьера Булеза.
Сегодня Алесси является действующим солистом в исполнении камерной музыки. В апреле 1990 состоялся его сольный дебют с Нью-Йоркским филармоническим оркестром, исполнив фантазию для тромбона П. Крестона, а в 1992 году выступил с премьерой концерта для тромбона Кристофера Роуза, лауреата Пулитцеровской премии. В одном из выступлений с Нью-Йоркской филармонией Алесси исполнил мировую премьеру концерта для тромбона с оркестром Мелинды Вагнер.
Джозеф Алесси выступал в качестве приглашенного солиста с Симфоническим оркестром Линкольна, Оркестром национального репертуара, Сиракузским Симфоническим оркестром, симфоническими оркестрами штатов Колорадо, Вирджиния, Алабама, Южная Дакота, Симфоническим оркестром Санта-Барбары, Новым японским филармоническим оркестром, Сеульским филармоническим оркестром, оркестром театра «Массимо Беллини» в Катании, оркестром Национального театра Мангейма, Национальным симфоническим оркестром Тайваня, Симфоническим оркестром Пуэрто-Рико, Гаагским и Хельсинкским филармоническими оркестрами, Симфоническим оркестром Хартфорда.
Алесси также принимал участие в многочисленных фестивалях, в том числе в фестивале камерной музыки в Портогруаро (Италия), музыкальном фестивале Кабрильо, Неделе духовой музыки в Швейцарии и Неделе духовой музыки в Лиекса (Финляндия). В 1997 году он выступал на Международном фестивале тромбонистов в Фельдкирхе (Австрия) и на Международном фестивале медных духовых инструментов в Лилле (Франция). Он является основателем ансамбля духовых инструментов в Институте духовых инструментов имени Рафаэля Мендеса в Темпе, штат Аризона. В 2002 году Алесси был удостоен премии Международной ассоциации тромбонистов за вклад в развитие тромбонной музыки и игру на тромбоне.
